sábado, 6 de junio de 2009

MC. Escher 4º "Escher y las matemáticas"











Escher y las matemáticas

"Con frecuencia me siento más próximo a los matemáticos que a mis colegas los artistas"
(M.C.Escher)





La relación de Escher con las Matemáticas tiene varios niveles. El más obvio es la aparición de elementos matemáticos en la obra de Escher. Es decir, para los matemáticos la obra de Escher permite mostrar de manera artística a la vez que popular algunos objetos de su disciplina. Un claro ejemplo es la obra que aparece a la izquierda, "Cinta de Moebius II", que presenta un ejemplo de dicha cinta no sólo muy estético sino que permite ilustrar con la ayuda de las hormigas el hecho de que la Cinta de Moebius tenga una única cara.




También es evidente la aportación de Escher a los recubrimientos en el espacio. Escher se inspiró en los mosaicos de la Alhambra de Granada. Con una diferencia. Si el Islam prohibía las imágenes de animales o personas, el artista holandés no tenía esa limitación por lo que realizó todo tipo de recubrimientos de asombrosa complejidad. A la derecha vemos un ejemplo de sus teselaciones (recubrimientos del plano). Los peces de diferentes colores que la forman, aunque a primera vista parecen superponerse, en realidad encajan perfectamente. Si observamos el dibujo, en un mismo "vértice" conviven tres cabezas y tres colas de pez.




Otros aspecto evidente que relaciona a Escher con las matemáticas es el empleo de poliedros en sus dibujos. De esta obra, "Stars" (1948), el propio Escher dijo: "Cuerpos regulares sencillos, dobles y triples flotan como estrellas por el vacío. En el centro se encuentra una construcción compuesta por tres octoedros regulares". Aparecen también otro tipo de poliedros en sus obras "Order and Chaos" (1950) y "Gravitation" (1952).




Pero la aplicación más interesante de las matemáticas en la obra de Escher es su uso de geometriás no euclídeas (geometrías en las que no se cumple el V postulado de Euclides de que por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela). En alguna de sus obras como en este "Límite Circular IV" (1960) utiliza el espacio de una esfera para representar figuras cuyo tamaño tiende hacia lo infinitamente pequeño





Los matematicos y los mundos imposibles


Escher fue influenciado por el arquitecto y dibujante Barroco Giambattista Piranesi y por matematicos que luego serian admiradores de su obra y que gracias a el pudieron ver sus figuras imposibles integradas dentro de un entorno creativo. Con ellos Escher mantuvo una relaccion de amistad.


Oscar Reutersvard



El origen del estudio de las figuras imposibles parece que tuvo lugar en 1934.
En aquel año elartista Oscar Reutersvard era sólo un estudiante que, aburrido en las clases de Latín, llenaba de figuras los márgenes de loslibros.
Uno de sus pasatiempos preferido era dibujar estrellas de varias puntas lo más regulares posible.
Un día trató de dibujar una estrella de 6 puntas rodeándola de cubos. Cuando lo hizo, descubrió que los cubos formaban una figura extraña.



Efectivamente, así es: los cubos forman 3 filas: el 1 y el 2, el 3 y el 4 y el 5 y el 6 (Fig 2). La primera fila y la tercera son horizontales mientras que la segunda es vertical. Los cubos 1 y el 6, por un lado, parecen en un mismo plano mientras que entre los cubos 2 y 5 hay una diferencia de altura, lo cuál es absurdo porque las filas que forman 1 y 2 y 5 y 6 son horizontales.
De todas formas, la intuición de Reutersvard le llevó a colocar tres nuevos cubos en la esquinas de maneraque formaban un triángulo perfecto... e imposible.




El triángulo imposible, como su nombre indica, no se puede construir pero, fotografiando otras figuras desde un ángulo adecuado, se puede conseguir una figura que tenga su apariencia. El proceso se explica en el esquema de la derecha, obra de Diego Uribe. Giramos una figura normal como la de (a) hasta lograr un punto de vista en el que los dos extremos coincidan, como en (c).Afinando o retocando los extremos se logra la apariencia de triángulo, (d).



L.S. y Roger Penrose




En 1956 L.S. y Roger Penrose publicaron el artículo: "Figuras imposibles: una clase especial de Ilusiones Visuales". En él introducían figuras como el "tribar" un triángulo imposible formado por tres barras (izquierda) o la escalera sin fin (derecha) . Además mostraban la foto de otra escalera que, por el ángulo escogido, tenía el aspecto de imposible.




Roger Penrose confesaba años después que gran parte de la inspiración para el artículo le vino al visitar una exposición de la obra de Escher. Por entonces, los trabajos del pintor holandés no incluian elementos imposibles, pero la naturaleza de sus trabajos fue motivo de inspiración para Penrose. En cualquier caso, por las fechas de la publicación del artículo, Escher ya estaba trabajando con figuras imposibles (como este cubo que aparecía en su obra Belvedere) si bien el texto de los Penrose le sirvió a su vez de inspiración para nuevas creaciones.



Hans de Rijk


Es un profesor de matemáticas holandés que, bajo el seudónimo Bruno Ernst, se dedica a explorar el arte de las figuras imposibles y las paradojas de la percepción visual. Actualmente está retiradoy vive en La Haya.
Fue amigo y biógrafo de Maurits C. Escher. Es autor de El espejo mágico de M. C. Escher, un libro minucioso y documentado que para muchos de nosotros fue una luminosa iniciación a las obras de Escher.




Figura 1º Dos barras imposibles
Figura 2º Plano 8
Figura 3º Piramide tribal



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viernes, 5 de junio de 2009

MC. Escher 3º El plano, la curva y el espacio









El plano la curva y el espacio

A Escher siempre le obsesionó el conflicto entre la realidad y la forma de plasmarla en el plano. Jugó con la representación en tres dimensiones para generar obras que saltaban por encima de las normas, produciendo efectos tan imposibles como llamativos o llevando al límite las posibilidades que le permitía dicha representación.
Reunimos bajo este título de "mundos entrelazados" crea un conjunto de obras a lo largo de su vida en las que se superponen diferentes realidades, bien en dos dimensiones, como las particiones del plano, bien en tres dimensiones.
En este conjunto de trabajos la formas conmienzan en un plano bidimensional y van evolucionando hasta convertirse en imagenes espaciales, con volumen y movimiento.
El juego de contraste entre blanco y negro, o sus gradaciones en grises hacen que las imagenes se produzcan unas saliendo de otras, consiguiendoel efecto de planos que se entrelazan unos entre otros.




"Día y noche" (1939)
Se convirtió en seguida en una de las obras más populares de Escher. En ella se producen progresivas transformaciones tanto en horizontal (durante la cuál el día se transforma en una noche que además es su espejo) como en vertical, en la que los terrenos de la superficie se transforman en aves que surcan (y llenan) el cielo.




"Manos dibujando" (1948)
Este es uno de los trabajos con el que Escher quería mostrar los engaños del dibujo ya que, en este trabajo, cada mano pinta la otra, estando ambas además en un papel clavado con chinchetas que a su vez forma parte de la superficie plana que contiene el conjunto de la obra.




"Depth" (1955)
Escher divide el espacio en cubos de forma que cada pez es la intersección de tres filas de peces, filas que se cortan en ángulo recto en tres ejes diferentes.




"Trayectoria vital I" (1958)
En este tipo de figura, Escher no sólo realiza un recubrimiento del espacio sino que, mediante la combinación de círculos y espiralesse crea una secuencia de imágenes que se van reproduciendo, cada vezcon menor tamaño, hacia el centro de la figura.


En la ultima parte de su vida Escher dedica gran parte de su trabajoa los espacios circulares y las geometriás no euclídeas y la multiple división de estos.



"Torbellinos" (1957)



"Espirales de Spher" (1958)



"Superficie de la esfera con los pescados" (1958)



"Serpientes" (1969)
Este es el último trabajo de Escher concluido cuando ya estaba enfermo. Se trata de algo nuevo: los anillos crecen desde el centro, alcanzan el diámetro máximo y después empiezan a disminuir según se acercan al perímetro. Una red de anillas con anillos pequeños por el extremo y por el centro, y en la zona intermedia con anillos grandes por los que se asoman unas serpientes que se enroscan.





El espacio lineal y el curvo



"Print gallery" (1956)

En esta obra Escher utiliza una serie de ampliaciones progresivas de forma que el visitante que aparece a la izquierda de la obra está ampliado cuatro veces en relación a los cuadros y a la persona que aparecen abajo a la derecha. Pero el cuadro que aparece arriba a la izquierda está a su vez ampliado cuatro veces en relación al visitante (que sufre en el tamaño de su cabeza la transición hacia esa ampliación...). Y así sucesivamente de forma que la cornisa que aparece bajo la mujer asomada a la ventana estaría ampliada 256 veces en relación a las columnas que la sustentan.
Con este juego de progresiones Escher consigue 2 puntos espaciales; uno que esta dado por la persona que comtempla los cuadros y que a su vez se esta viendo asi mismo atraves de la ventana con lo que se consigue un espacio rectilineo e infinito. El 2º esta dado por la ampliacion de la galeria 256 veces con lo que se consigue un espaciocurvo. La interseccion de estos puntos de vista coninciden en elespectador que contempla los cuadros.


Para comprender este efecto de apreciacion óptica abre el enlace de las fotos siguientes en una nueva pestaña.







El regreso a Holanda. Trabajos sobre el plano y los paralepipedos.



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jueves, 4 de junio de 2009

MC. Escher 2º "La division del plano"











MC. Escher y la division del plano


MC. Escher dedico gran parte de su vida a investigar sobre la múltiple división del plano. Siendo estudiante en la escuela de Arquitectura y Artes Decorativas de Haarlem conoce al que seria su maestro en el dibujo y el grabado Samuel de Mesquita. Este hablara a Escher sobre la geometría de los texeladores nazaríes de la Alambra de Granada en España, mostrándole grabados sobre los mosaicos y los estucados de dicho monumento.
En el verano de 1922 encontrándose de vacaciones en la Riviera francesa aprovecha el mes de septiembre para visitar Granada. Pasa todo el mes tomando apuntes de los mosaicos las cerámicas y los estucados de la Alambra.En 1936 viaja por segunda vez ya casado y con sus hijos a España recorriendo la costa mediterránea asta Granada, donde se dedica a estudiar con más detenimiento las geometrías de los Nazaríes.
Estando haciendo estos estudios se produce la sublevación militar en España en contra de la Republica y se ve obligado a marcharse de Granada y nunca mas volvería aunque todo el trabajo de su vida sebasaría en lo que vio en estos 2 viajes.





Teselación

Tessella es una palabra griega que significa "pequeño cuadrado", y el término teselación, o embaldosado, es la división del plano en sectores de forma idéntica. El ejemplo mas simple es el embaldosado del suelo con losetas triangulares, cuadradas o hexagonales, únicos polígonos regulares que lo permiten.Relajando la exigencia de regularidad, muchos otros polígonos pueden embaldosar el plano: ciertos triángulos, rombos etc. Mucho mas difícil es la teselación mediante figuras irregulares, a la que Escher dedicó muchas de sus primeras obras, sumando a la creatividad un concepto intuitivo de la simetría, y en la que demostró ser un consumado maestro.



Division del plano en mallas



División del plano en tramas



División del espacio circular el polígonos regulares






El metodo de de Escher


El método de división del plano de Escher en polígonos, utiliza comocriterio la distancia mínima a un conjunto de puntos previo. Dado un conjunto puntos origen, la división del plano genera un polígono alrededor decada uno de ellos; cada polígono representa el lugar geométrico de los puntos del plano más cercanos al punto interior original; una línea frontera entre dos polígonos representa el lugar geométrico de los puntos del plano equidistantes a los puntos origen respectivos.



Divisiones del poligono regular en simetrias de formas irregulares

















División del espacio circular por un polígono en simetrias de formas irregular







Divisiones del plano en formas simetricas



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